OpenAI presentó ayer tres pruebas matemáticas masivas que abarcan matemáticas, física y ciencias de la computación, un anuncio que ha sacudido a esos campos y que llega apenas unas semanas después de que la compañía liberara cientos de avances matemáticos generados por inteligencia artificial en una disciplina ya en crisis. Los expertos aún se están recuperando del impacto.
Las liberaciones contradicen las recomendaciones del Grupo Asesor en Matemáticas e Inteligencia Artificial (AGMAI, por sus siglas en inglés), el panel de expertos que OpenAI organizó en respuesta a las críticas generalizadas de los matemáticos. El modelo de lenguaje grande (LLM) que produjo las nuevas pruebas sigue siendo propietario, y no se han hecho públicos los prompts exactos utilizados, el tiempo de cómputo empleado ni las “cadenas de pensamiento” generadas. Dos de estos resultados coinciden con trabajo estrechamente relacionado del competidor de OpenAI, Anthropic.
El enfoque de OpenAI para dos de los tres resultados también viola directamente una declaración aclaratoria que AGMAI publicó solo un día antes, al designar expertos específicos para guiar los resultados hacia la esfera pública. Uno de esos artículos, relacionado con el problema “del millón de dólares” de Yang-Mills —uno de los siete “Problemas del Milenio” establecidos por el Instituto Clay de Matemáticas en 2000—, aún no se ha hecho público. AGMAI ya ha pedido a OpenAI que lo publique, escribiendo que “no hay razón científica para retrasar más su liberación”.
A continuación, un desglose rápido de los tres nuevos resultados y por qué son importantes.
La conjetura de Kakeya: resuelta en todas las dimensiones
La conjetura de Kakeya trata sobre girar un lápiz óptico en el aire de manera astuta, de modo que apunte en todas las direcciones una vez pero barra el menor volumen posible. Específicamente, la conjetura dice que el volumen no puede ser menor que cierto número. Sorprendentemente, este simple problema de geometría es una de las conjeturas más importantes en análisis armónico, el estudio de cómo todo tipo de objetos matemáticos pueden construirse a partir de ondas.
Dos matemáticos probaron la conjetura en tres dimensiones el año pasado, en uno de los mayores avances matemáticos de este siglo. La hazaña le valió a Hong Wang una Medalla Fields —el máximo honor en matemáticas— en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado este verano en Filadelfia. Pero el problema seguía abierto en espacios de dimensiones superiores. En la “lluvia de resultados” del mes pasado, el modelo interno de OpenAI resolvió el problema de Kakeya en cuatro dimensiones. Ahora, lo ha resuelto en todas las dimensiones, demostrando que existe un límite para el espacio mínimo que puede ocupar un lápiz óptico de alta dimensión.
El problema de Yang-Mills: avance parcial sin publicación
El problema de Yang-Mills, uno de los cinco problemas del Milenio del Instituto Clay aún abiertos, trata sobre física de partículas. Específicamente, pregunta si las matemáticas que sustentan el “Modelo Estándar” de la física de partículas son realmente sólidas. Esta cuestión se reduce a dos partes, denominadas “existencia” y “brecha de masa”. La definición del problema del Instituto Clay pide respuestas para ambas.
Hoy, OpenAI afirmó haber probado la primera de las dos: que la teoría, llamada “teoría de Yang-Mills”, es matemáticamente consistente en todos los casos relevantes: “existe”. La parte del problema de Clay que permanece abierta es más cuantitativa, y pregunta si cierto número en la teoría, llamado “brecha de masa”, es siempre mayor que cero.
A finales de la década de 1980, mucho antes de que existiera el Instituto Clay, el matemático Tadeusz Balaban publicó una serie de artículos masivos y densos esbozando un camino para probar la parte de “existencia” del problema. Por voluminoso que sea el “programa de Balaban”, solo codifica los contornos generales del problema; llenar los vacíos para construir una prueba matemáticamente rigurosa requeriría cálculos mucho más laboriosos y exhaustivos. El proyecto es tan inmenso —y los artículos de Balaban son tan difíciles de interpretar— que nadie lo ha llevado a cabo más de tres décadas después.
“Básicamente lo hizo”, dice Roland Bauerschmidt, matemático de la Universidad de Nueva York. “Pero creo que no hay nadie que entienda estos artículos y pueda decir si son correctos o no”.
Recientemente, algunos expertos comenzaron a usar LLM para producir los necesarios tomos de tediosos pasos matemáticos, percibiendo que se avecinaba una carrera por terminar el programa de Balaban. Trabajando con el empleado de Anthropic Levent Alpöge, Ethan Sussman, matemático de la Universidad Northwestern, creó y publicitó un repositorio público en GitHub para hacer precisamente eso. Estaban progresando considerablemente y creían estar cerca de terminar el programa. La afirmación de OpenAI —sin prueba disponible públicamente— parece haberles ganado la carrera.
La hipótesis del tiempo exponencial: un desafío a la informática teórica
La hipótesis del tiempo exponencial (ETH, por sus siglas en inglés) trata sobre la complejidad computacional, la ciencia de clasificar los problemas de informática según su dificultad. Específicamente, la ETH sugiere que una famosa tarea llamada problema 3-SAT no puede resolverse en menos que tiempo exponencial. Esto significa que a medida que aumenta el número de variables en el problema, cualquier algoritmo que lo resuelva se ejecutará exponencialmente más lento.
La prueba de OpenAI proporciona un algoritmo para resolver 3-SAT que es solo un poco más rápido que el tiempo exponencial, refutando la ETH. La ETH es importante por su relación con “P versus NP”, otro de los Problemas del Milenio del Instituto Clay, y ampliamente considerado uno de los más difíciles, con importantes implicaciones para la encriptación moderna. Sugerida por primera vez en 1999, la ETH puede considerarse una versión aún más fuerte de P≠NP, y ha sido tratada como un principio fundamental de la informática por la mayoría de los expertos. Debido a que 3-SAT es un problema que los informáticos saben que es central en el debate, la ETH mostraría que hay problemas que no solo son fundamentalmente difíciles de resolver, sino que también escalan de manera tan brutal que son efectivamente inatacables.
Aunque el nuevo resultado no se traduce necesariamente en un avance transformador sobre P versus NP, los efectos potenciales son tan amplios que OpenAI ha recurrido a expertos externos para validar su afirmación. Russell Impagliazzo y Ramamohan Paturi, dos informáticos de la Universidad de California en San Diego que sugirieron originalmente la ETH, así como Ryan Williams, informático del Instituto Tecnológico de Massachusetts, ahora trabajan con OpenAI para realizar una investigación independiente del resultado. La compañía también patrocinará una conferencia de informática sobre la prueba como parte de esta investigación, según Williams.
El resultado tampoco ha estado exento de controversia. Apenas unas horas después del anuncio de OpenAI, Anthropic publicó su propio resultado independiente que refuta la ETH, basado en el trabajo de un modelo interno de Anthropic. Esta es una noticia en desarrollo y será actualizada.